[알고리즘] 최단경로 찾기

최단경로

• 다익스트라 최단 경로 알고리즘
• 플로이드 워셜 알고리즘

그리디알고리즘과 다이나믹 알고리즘이 적용됨!

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘

다익스트라(Dijkstra) 알고리즘은 여러개 노드가 있을 떄 특정노드에서 다른 노드로 도착하는 각각의 최단 경로를 구하는 알고리즘이다.

매번 가장 비용이 적은 노드를 선택하는 과정을 반복하기 떄문에 그리디 알고리즘으로 분류

음의 간선이 없을 때 적용가능하다.

 

과정

1. 출발 노드 선정

2. 최단 거리 테이블 초기화(무한으로 초기화<int(1e9)>)

3. 방문 하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택

4. 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산해 최단 거리 테이블을 생성

5. 3번과 4번의 과정 반복!

import sys
input=sys.stdin.readline
INF=int(1e9)#10억 설정

#노드 개수, 간선개수
n, m=map(int, input().split())

#시작 노드
start=int(input())

#각 노드에 연결되어있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph=[[] for i in range(n+1)]

#방문 리스트
visit=[False] * (n+1)

#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance=[INF]*(n+1)

for _ in range(m) :
    a,b,c=map(int, input().split())

    #a번 노드에서 b번으로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))

def get_smallest_node() :
    min_v=INF
    index=0
    for i in range(1, n+1) :
        if distance[i]<min_v and not visit[i] :
            min_v=distance[i]
            index=i
    return index

def dijkstra(start) :
    #시작노드 초기화
    distance[start]=0
    visit[start]=True
    #시작 노드 제외한 전체 n-1개의 노드에 대한 반복
    for j in range(n-1) :
        now=get_smallest_node()
        visit[now]=True
        for j in graph[now] :
            cost=distance[now]+j[i]
            if cost < distance[j[0]] :
                distance[j][0]=cost
dijkstra(start)

for i in range(i, n+1) :
    #도달 할수없을 경우 무한 출력
    if distance[i]==INF: 
        print("무한")
    #도달할 수 있는 경우 거리 출력
    else :
        print(distance[i])

 

시간복잡도 : O(v^2) (v는 노드 개수)

 

 

우선순위 큐를 이용하면 코드는 좀 더 까다롭지만 속도를 더 증가시킬 수 있다!

 

코드 구현

import heapq
from stringprep import in_table_c9
import sys

input=sys.stdin.readline
INF=int(1e9)

n, m=map(int, input().split())

start=int(input())

graph=[[] for i in range(n+1)]

distance=[INF]*(n+1)

for _ in range(m) :
    a, b, c=map(int, input().split())
    graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start) :
    q=[]

    #시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start]=0

    while q :
        #가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now=heapq.heappop(q)

        #현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist :
            continue
        
        #현재 노드와 연결된 다른 인접 노드 확인
        for i in graph[now] :
            cost=dist+i[1]
            #현재 노드 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]] :
                distance[i[0]]=cost
                heapq.heappush(q,(cost, i[0]))
    
dijkstra(start)

for i in range(1, n+1) :
    if distance[1]==INF :
        print("무한")
    else :
        print(distance[i])

시간복잡도  : O(ElogV) (E:간선 개수, V:노드개수)

 

 

플로이드 워셜 알고리즘

모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야하는 경우 사용하는 알고리즘이다!

 

플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 다르게 2차원 리스트에 최단거리 정보를 저장한다는 특징이 있음

모든 노드에 대해 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야하기 때문!

매번 O(N^2)의 시간이 소요됨

N번 마다 단계를 반복하며 점화식에 맞게 2차원 리스트를 갱신하기 때문에 다이나믹 프로그래밍의 종류중 하나이다

 

코드 구현

INF=int(1e9)

#노드의 개수 및 간선의 개수 입력받기
n=int(input())
m=int(input())

#2차원 리스트(그래프 표현)만들고 모든 값을 무한으로 초기화
graph=[[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]

#자기 자신에게 가는 비용 0으로 초기화
for a in range(1, n+1) :
    for b in range(1, n+1) :
        if a==b :
            graph[a][b]=0

#각 간선에 대한 정보를 입력받아 초기화
for _ in range(m) :
    #A에서 B로 가는 비용은 C라고 가정
    a,b,c=map(int, input().split())
    graph[a][b]=c

#점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행

for k in range(1, n+1) :
    for a in range(1, n+1) :
        for b in range(1, n+1) :
            graph[a][b]=min(graph[a][b], graph[a][k]+graph[k][b])

for i in range(1, n+1) :
    if graph[a][b]==INF :
        print("무한")
    else :
        print(graph[a][b])